Список вопросов к экзамену
1. Определение матрицы, разновидности матриц, операции над матрицами.
2. Определители: определение, свойства, вычисление.
3. Минор, алгебраическое дополнение, разложение определителя по элементам строки или столбца.
4. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Ранг матрицы.
5. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли.
6. Обратная матрица. Решение невырожденных систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.
7. Метод Крамера для решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.
8. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
9. Векторы: линейные операции над векторами, проекция вектора на ось.
10. Разложение вектора по ортам координатных осей, модуль вектора, направляющие косинусы.
11. Операции над векторами, заданными своими проекциями.
12. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, представление в координатах, приложения.
13. Векторное произведение векторов: определение, свойства, представление в координатах, приложения.
14. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, представление в координатах, приложения.
15. Направляющий и нормальный векторы к прямой. Различные виды уравнения прямой на плоскости.
16. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми.
17. Уравнения плоскости в пространстве.
18. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями.
19. Уравнения прямой в пространстве.
20. Угол между прямой и плоскостью. Точка пересечения прямой и плоскости.
21. Линии второго порядка на плоскости: окружность и эллипс.
22. Линии второго порядка на плоскости: гипербола и парабола.
23. Уравнения кривых 2-го порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям. Общее уравнение линий 2-го порядка.
24. Поверхности 2-го порядка.
25. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.
26. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции на бесконечности.
27. Основные теоремы о пределах функций.
28. 1-й и 2-й замечательные пределы (с доказательством).
29. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Основные теоремы о них.
30. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные б.м.ф. Важнейшие эквивалентности.
31. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
32. Задачи, приводящие к понятию производной: скорость прямолинейного движения, касательная к кривой.
33. Определение производной. Геометрический и физический смысл производной.
34. Правила дифференцирования. Производная сложной функции.
35. Таблица производных основных элементарных функций. Вывод нескольких табличных формул.
36. Производные неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.
37. Дифференциал функции. Теоремы о дифференциалах. Геометрический смысл дифференциала функции.
38. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
39. Производные и дифференциалы высших порядков.
40. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей различных видов с его помощью.
41. Условия монотонности и экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке.
42. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции.
43. Общая схема исследования функции и построения графика
44. Первообразная. Неопределённый интеграл. Основные определения и теоремы.
45. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов.
46. Метод замены переменной. Внесение функции под знак дифференциала.
47. Формула интегрирования по частям. Рекомендации по применению.
48. Рациональные функции (основные определения). Интегрирование рациональных функций (общий алгоритм).
49. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Метод сравнивания коэффициентов. Метод частных значений.
50. Интегрирование простейших рациональных дробей.
51. Интегрирование тригонометрических функций.
52. Интегрирование иррациональных функций.
53. Определённый интеграл. Геометрический смысл определённого интеграла.
54. Формула Ньютона–Лейбница (с обоснованием).
55. Основные свойства определённого интеграла.
56. Методы вычисления определённого интеграла.
57. Несобственный интеграл 1-го рода (с бесконечными пределами).
58. Несобственный интеграл 2-го рода (от неограниченной функции).
59. Метод интегральной суммы для решения прикладных задач.
60. Вычисление площадей плоских фигур.
61. Вычисление длины дуги кривой.
62. Вычисление объёма тела. Объём тела вращения.
63. Механические приложения определённого интеграла.
64. Функции двух переменных: определение, график, линии уровня.
65. Частные производные первого порядка, их геометрическое толкование.
66. Касательная плоскость и нормаль к поверхности: определение, уравнения
67. Дифференцируемость и полный дифференциал функции нескольких переменных.
68. Частные производные и дифференциалы высших порядков: определение, теорема Шварца.
69. Производная сложной и неявной функций нескольких переменных.
70. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума.