Третий семестр. Экзаменационные вопросы
1. Опр. бесконечной числовой последовательности, её предела. Опр. числового ряда и его суммы.
2. Основные свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.
3. Признаки сравнения. Доказать.
4. Признак Даламбера. Доказать.
5. Признак Коши. Показать на рисунке его смысл.
6. Признак Лейбница. Доказать.
7. Признак абсолютной сходимости. Доказать.
8. Теорема Абеля. Доказать.
9. Разложение в ряд Тейлора. Вывод формулы.
10. Разложение в ряд Маклорена функций ex , sin x , cos x .
11. Разложение в ряд Маклорена функций (1 + x)m, ln (1 + x) , arctg x .
12. Правила применения степенных рядов к приближенным вычислениям.
13. Определения ряда Фурье, ортогональной системы функций. Вычисление коэффициентов разложения в ряд Фурье.
14. Достаточное условие разложения функции в ряд Фурье. Теорема Дирихле.
15. Свойства четных и нечетных функций. Ряд Фурье для четных и нечетных функций.
16. Правила разложение в ряд Фурье функций в сегменте [ -l, l].
17. Правила разложение в ряд Фурье непериодических функций.
18. Опр. аддитивной величины. Алгоритм метода интегральной суммы.
19. Задача о вычислении объема цилиндрического бруса. Опр. двойного интеграла.
20. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем.
21. Правила вычисления двойного интеграла.
22. Правила вычисления двойных интегралов в полярной системе координат
23. Задача о вычислении массы тела переменной плотности. Опр. тройного интеграла.
24. Свойства тройного интеграла. Теорема о среднем.
25. Задача о вычислении массы тел распределенных вдоль кривой. Опр. криволинейного интеграла 1 рода и правила его вычисления.
26. Задача о вычислении работы по перемещению тела в поле переменных сил. Опр. криволинейного интеграла 2 рода.
27. Три условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования и
правила вычисления первообразной функции. Вывод.
28. Вывод формулы Грина.
29. Определение скалярного поля. Линии уровня, поверхности уровня.
30. Производная по направлению скалярного поля.
31. Градиент скалярного поля.
32. Общие свойства поверхностей.
33. Определение площади гладкой поверхности.
34. Задача о массе поверхности. Определение поверхностного интеграла 1 рода.
35. Определение и вычисление поверхностных интегралов 2-ого рода.
36. Вывод формулы Остроградского - Гаусса.
37. Определение векторного поля, векторных линий.
38. Задача о потоке жидкости через поверхность. Опр. Поток векторного поля через поверхность.
39. Задача о потоке тепла через неравномерно нагретое тело.
40. Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Понятие «источника» и «стока» векторного поля.
41. Дивергенция векторного поля. Опр. и вывод формулы.
42. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса. Ротор векторного поля.
43. Простейшие векторные поля.
44. Общий вид уравнений математической физики (УМФ) и общие свойства их решений.
45. Три основных уравнения матфизики. Их граничные и начальные условия.
46. Вывод понятия - характеристика системы координат.
47. Классификация линейных УМФ .
48. Решение задачи Коши волнового уравнения в свободном пространстве.
49. Вывод уравнения колебаний струны.
50. Решение уравнения колебания струны методом Фурье.
51. Вывод уравнения теплопроводности.
52. Смешанная задача для уравнения теплопроводности.
53. Решение уравнения теплопроводности
54. Решение задачи Дирихле в круге.
55. Вывод телеграфного уравнения.
56. Решение телеграфного уравнения для установившихся процессов.
57. Решение телеграфного уравнения при изменении внешнего воздействия для линии без искажений.